特殊容斥问题分析

 一、工具的应用

容斥问题研究的是集合与集合之间关系，对应于不同的题型，我们往往要选择不同的工具展示题目中的关系，简化分析过程。题型不同时要借助的工具也不一样。普通二者或三者容斥借助文氏图分析；四者容斥往往借助表格；而一些有比较或排序类的容斥题目往往借助线段。考生要区分不同题型、考点，明确做题工具。

二、结论的不同

不同题型不但解题工具不同，结论、公式也是不同的。普通的二者和三者容斥考生往往都比较熟悉，下面几个特殊容斥的题目一样值得考生注意：

1、 四者容斥

例：有100件衬衫，其中白色和黑色的各50%,大号有25%,小号占75%,白色大号的有10件，请问黑色小号的有几件？

分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中。

则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。

总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。利用表格可以快速解题。

2、 容斥全极值

N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。考试很少考最大值，一般都是问N者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去（N-1）个全集。

例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科目都好的至少有几人？

分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-100×2=40.即三个科目都好的人至少40人。

3、 三者容斥二者最多

三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2,求整数部分。

例：某班有100人，其中语文好的有40人，数学好的有32人，英语好的有48人，请问其中只有两科好的至多有几人？

分析：三者容斥求二者最多，可以直接计算：（40+32+48）÷2=60人。